Representación matemática de los intervalos.

En el artículo se presentan conceptos elementales desde el punto de vista de la música y de la física para llegar a establecer cuáles son las relaciones matemáticas entre las frecuencias de las notas de una escala musical.

1.- Un poco de música.

2.- Un poco de física.

3.- Expresión matemática de los intervalos.

4.- De cómo obtener una escala mayor a partir de relaciones matemáticas sencillas.

5.- Qué sucede con los instrumentistas de cuerda.

6.- Epílogo.

1.- Un poco de música.

Si existe un concepto elemental que resulte interesante y útil para comprender el lenguaje de la música es el de intervalo. Un intervalo no es más que la distancia entre dos notas musicales. En términos musicales es muy sencillo de entender pero, ¿qué conceptos matemáticos y físicos están detrás de esta idea?

Empecemos por entender los intervalos desde el punto de vista musical. Lo que generalmente conocemos como escala musical es un conjunto de 7 sonidos (Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si) que se representan en un pentagrama en líneas y espacios sucesivos:

Por encima del Si empieza de nuevo el Do y por debajo del Do grave tenemos de nuevo el Si. Hasta aquí debería entenderlo un alumno que haya cursado 2º de ESO en unas condiciones humanamente aceptables. Es interesante pensar en la escala como en un círculo:

Decimos que la distancia de Do a Re es de 2ª, o que entre Do y Re hay un intervalo de 2ª, que entre Do y Mi hay un intervalo de 3ª, entre Do y Fa de 4ª y así sucesivamente.

Una peculiaridad de lo que conocemos como Escala Mayor en la música Occidental es su irregularidad. Podríamos pensar que una escala divide a una octava en 7 segmentos iguales pero no es así. Entre Mi y Fa y entre Si y Do hay la mitad de distancia que entre cualquier otro par de notas consecutivas. Es entonces cuando surge el concepto de tono y semitono para describir esas distancias:

En realidad, es gracias a esta irregularidad que se desarrollaron los llamados modos gregorianos y porteriormente las escalas mayores y menores. En definitiva, es el reparto de tonos y semitonos lo que nos permite diferenciar unas melodías de otras.

Un sonido musical lo podemos definir sin ambigüedad a través de cuatro parámetros independientes: la altura, la duración, la intensidad y el timbre.

La altura de un sonido está íntimamente relacionada con su frecuencia, es decir, con el número de veces que vibra dicho sonido por unidad de tiempo. Se mide en Herzios (unidad inversa del segundo).

Para hacernos una idea, el La del segundo espacio del pentagrama en clave de Sol corresponde a un sonido que vibra 440 veces por segundo, esto es, la frecuencia del La es de 440 Hz. ¿Por qué justo esta cantidad? Bueno, en realidad es un estándar internacional fijado en 1938. Pero esa es otra historia.

La duración de un sonido se mide en segundos, evidentemente, y se representa gráficamente con figuras que son proporcionales entre sí. La redonda es el doble de la blanca que es del doble de la negra que es el doble de la corchea...

Así, combinando notas de diferentes alturas con figuras de distintas duraciones podemos representar casi cualquier melodía o combinación de ellas.

La intensidad y el timbre se representan mediante otro tipo de expresiones. Físicamente la intensidad es una energía por unidad de tiempo y superficie. No es lo mismo la intensidad que podamos medir con un aparato de medida que la que percibamos subjetivamente con el oído. Y siempre es importante tener una intensidad de referencia dentro de lo humanamente audible. De ahí surgen los conceptos de sonoridad y la unidad de medida llamada decibelio (dB).

El timbre es más complejo de explicar en pocas líneas. Quedémonos con que es la característica que nos permite diferenciar unos instrumentos musicales de otros y que depende del contenido de "armónicos" de la onda sonora.

La pregunta clave que debemos hacernos es: ¿cuál es la relación entre las frecuencias de dos notas musicales cualesquiera? Dependerá de cuál sea el intervalo entre dichas notas. En algunos casos esa relación es tremendamente sencilla, como ya intuyeron Pitágoras y sus discípulos. Por ejemplo, la frecuencia se dobla cada vez que subimos una octava:

Para entender la notación que uso (existen otras), en la escala central del pentagrama en clave de Sol (la llamada escala central del piano), utilizo el subíndice 4.

Es decir, el La agudo (La5) tendrá una frecuencia de 880 Hz.

Pensemos ahora al revés: ¿existe algún par de notas cuya relación de frecuencias sea de 3/2? ¿y de 4/3? ¿por qué estos números? La serie formada por estos números es la más sencilla que se puede formar con fracciones de números enteros sucesivos y tiene su historia en el mundo pitagórico:

Los números 1, 2, 3 y 4 constituyeron el tetractus. Parece ser que existió un juramento pitagórico que decía algo así: "Juro en el nombre del tetractus que ha sido conferido a nuestras almas. La fuente y las raíces de la naturaleza eternamente fluyente están contenidas en él". Los cuatro números del tetractus suman 10 que era el número ideal y simbolizaba al universo. Los pitagóricos trataron de establecer una relación entre la armonía de los números y la armonía musical. Pitágoras observó que el sonido de una cuerda (unidad) puesta a vibrar resultaba ser una octva más agudo que el de dicha cuerda reducida a la mitad. Si ponía en vibración los 2/3 de la cuerda la nota escuchada era una quinta más aguda y si hacía vibrar las 3/4 partes de la cuerda la nota escuchada era una cuarta más aguda. En definitiva, lo que hacía era justificar matemáticamente los sonidos que ya se usaban. ¿O fue entonces cuando se precisaron tales sonidos para afinar los instrumentos musicales griegos? De todos modos a los pitagóricos les preocupaba la música no sólo en cuanto a la producida por los instrumentos musicales, sino que música también era ltambién la producida por los astros que giran en el cosmos conforme a leyes numéricas y a proporciones armónicas. Y música era también el estudio teórico de los intervalos musicales. En realidad, todo el sistema de notación musical occidental procede del mundo griego a través del prisma de los teóricos medievales.

Volviendo a la cuestión en la que estábamos, la relación de frecuencias entre las notas que forman un intervalo de 5ª es de 3/2 ; entre las notas que forman una 4ª de 4/3; entre las notas que forman una 3ª Mayor de 5/4; entre las notas que forman una 3ª menor 6/5; ¿y así sucesivamente? En realidad no, la cuestión es más complicada.

En realidad no he explicado cuál es la diferencia entre una 3ª mayor y una 3ª menor. No voy a pararme mucho en esa cuestión. Observemos la escala de arriba en la que están indicados los tonos y los semitonos: de Do a Mi contamos en total 2 tonos. En cambio, de Re a Fa contamos 1 y 1/2. Así que hay dos tipos de terceras, una más grande que otra. Lo mismo sucede con todos los otros intervalos.

Para entender lo que sigue tendríamos que hablar de la serie armónica de un sonido. Existe un teorema matemático fundamental en música: el teorema de Fourier. Básicamente afirma que una función matemática puede ser descompuesta en funciones matemáticas elementales de manera similar a cómo un número puede ser descompuesto en sumandos o en factores más simples. Esto tiene unas aplicaciones fascinantes en acústica. En términos de sonido, resulta que una función matemática que representa a un sonido, por compleja que sea, podemos expresarla como suma infinita de funciones sinusoidales (sonidos elementales) de frecuencias 1, 2, 3...

Es decir, cuando escuchamos un sonido de un violonchelo, por ejemplo, un Do2, lo que en realidad estamos escuchando es ese Do2, más otro sonido cuya frecuencia es el doble (un Do3), más otro cuya frecuencia es el triple (un Sol3), etc. (Obsérvese la relación de quinta entre el Sol3 y el Do3). El infinito no debe preocuparnos porque los coeficientes An representan las amplitudes de esas ondas elementales que escuchamos y resulta que cada vez son menores hasta hacerse imperceptibles.

A esas ondas elementales se les denomina "sonidos armónicos". Podemos representar la serie de los 32 primeros armónicos de esa nota en un pentagrama:

Comparando las frecuencias de las notas de esta serie armónica podemos construir una escala de Do Mayor. Entre los 6 primeros armónicos nos encontramos las principales consonancias (8ª, 5ª, 4ª, 3ª, 6ª). Para obtener las distintas 2ª y las 7ª necesitamos armónicos superiores.

La escala así construída se denomina Escala de los Físicos, de los Armónicos, Natural, de los Geómetras, de la Justa Entonación o de Aristógenes-Zarlino. Un nombre que nos habla de su historia.

Tenemos entonces lo siguiente:

Si observamos los números con atención nos encontramos con un problema interesante. No es que haya tonos y semitonos y por tanto la escala sea irregular. Es que hay dos tipos de tonos , los tonos grandes (de 9/8) y los tonos pequeños (de 10/9). Gracias a Dios sólo aparece un tipo de semitono (de 16/15).

Además, algunos intervalos como la 7ªmenor, de Do4 a Sib4, quedan especialmente desafinados respecto al estándar de afinación usado hoy en día, el sistema de afinación temperado. Para ser estrictos, incluso la 5ª queda un poco abierta, la 3ª Mayor cerrada, la 3ª menor abierta...En realidad, cuando representamos las notas musicales en un pentagrama damos por sentado que nos referimos a ese estándar de afinación temperado, en el cual los 12 semitonos de la escala son exactamente iguales. El tipo de escala aquí construído tuvo su importancia histórica y hablaré de él en otro artículo.

Que probablemente no hayan leído este artículo hasta el final. Pero si han llegado a este punto, les conviene reflexionar sobre la siguiente fórmula:

donde v es la velocidad de una onda sonora, l su longitud de onda y f su frecuencia.

Sin entrar en más definiciones, pensemos en una cuerda que vibra sujeta por sus dos extremos (es el caso, por ejemplo, de cualquier instrumento de cuerda, donde la cuerda vibra entre la cejilla y el puente). Si pisamos con un dedo en la mitad de la cuerda, la frecuencia de la nota resultante, a estas alturas, deberíamos saber cuál es: una 8ª de la nota correspondiente a la cuerda completa. ¿Y si pisamos con un dedo en 1/4 de la longitud total de la cuerda midiendo desde la cejilla, dejando que vibren los otros 3/4? Pues una 4ª Justa de la nota correspondiente a la cuerda completa. Por ejemplo, en una cuerda La de violín, si pisamos con el dedo 3 en 1ª posición y suena un Re, seguro que hemos dividido la cuerda en 1/4 por un lado y 3/4 por el otro.

Además, la escala construída a partir de las relaciones armónicas tiene consecuencias interesantes para la afinación en los instrumentos de afinación no fija, como es el caso de la familia del violín; en este caso los instrumentistas se pueden permitir el lujo de elegir qué tipo de afinación emplear, ya que pueden desafinar las notas a su antojo.

Así que si cualquier instrumentista de cuerda ha comprendido todo lo anterior estaría preparado para entender teóricamente un montón de cuestiones acústicas interesantes de su instrumento. Otra cosa es aprender a afinar. Para eso es mejor cantar que leer.

No sé si he conseguido mi objetivo. Es posible que los músicos no hayan entendido los razonamientos científicos y viceversa. Siempre me sucede.

En artículos posteriores intentaré abordar otras cuestiones interesantes para ambos: los sonidos armónicos en los instrumentos de cuerda, otros procedimientos matemáticos para la construcción de escalas que se usaron a lo largo de la Historia y sus implicaciones en música, etc.